Спец семинар «Математическое моделирование в иммунологии и медицине»

Руководители:
д.ф.-м.н. В.Н. Козлов,
д.ф.-м.н. А.А. Романюха,
м.н.с. С.Г. Руднев

Спец семинар адресован студентам, интересующимся практическими приложениями математики в медико-биологических исследованиях и включает в себя необходимый набор знаний по иммунологии и вирусологии. Мир биологических процессов существенно отличается от процессов, происходящих в неживой природе, и не может быть описан только при помощи физических или химических законов, а требует своих приемов построения математических моделей, их идентификации и интерпретации результатов. Ознакомление студентов с некоторыми особенностями построения и применения математических моделей для анализа биологических явлений является одной из основных задач семинара. Ниже приведено примерное содержание вопросов, рассматриваемых на семинаре:

1. Принципы организации и функционирования иммунной системы. Т и В системы иммунитета, принципы иммунного надзора и реагирования. Понятие антигена, клонально-селекционная теория Бернета, принцип двойного распознавания. Сетевая теория иммунного ответа. Оценка роли иммунной системы с точки зрения эволюции. Другие защитные системы организма.
2. Общие механизмы развития заболеваний. Взаимоотношения организма с вирусами и бактериями. Возможные механизмы повреждения тканей. Защитные реакции, их роль в развитии заболевания. Различные типы заболеваний и соответствующие методы терапии. Понятие иммунодефицита и иммуностимуляции.
3. Математические модели гуморального иммунного ответа. Математические модели процессов регуляции в иммунной системе.
4. Простейшая модель инфекционного заболевания. Принципы построения и обоснования уравнений модели. Аналитическое исследование простейшей модели заболевания. Положение равновесия. Условие устойчивости "здорового состояния" и "хронического заболевания".
5. Математическая модель противовирусного иммунного ответа. Принципы построения и обоснования уравнений. Количественная оценка величин параметров.
6. Методы численного решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Системы уравнений с запаздывающим аргументом. Жесткие задачи.
7. Задачи идентификации параметров модели. Обобщенная картина болезни. Анализ и верификация идентифицированных параметров.
8. Механизмы специфической и неспецифической иммунной защиты. Их роль в поддержании здоровья. Математическая модель воспалительной реакции в легких.
9. Математическая модель защитной иммунофизиологической реакции в легких. Согласование воспалительной и иммунной реакций.
10. Энергетика процессов защиты организма от инфекций, принцип оптимума. Условие устойчивости хронической инфекции.
11. Математическая модель смешанных инфекций. Зависимость оптимального решения от факторов внешней среды. Адаптация и эволюционный процесс.

Спец семинар «Сложность алгоритмов»

Руководители:
профессор В.Б. Алексеев, к.ф.-м.н. А.А. Вороненко

Для того, чтобы передать задачу компьютеру, казалось бы достаточно разработать какой-нибудь алгоритм решения. Но оказывается, что и при современных сверхскоростных компьютерах некоторые алгоритмы не подходят, поскольку требуют слишком много времени. Например, если алгоритм требует перебрать все булевы функции от n переменных, то компьютер не сможет это сделать даже за миллион лет уже при n=7. Выходов два - либо ускорять компьютеры, либо придумывать новые нестандартные алгоритмы. Оказывается, что нестандартные алгоритмы существуют для многих задач. Например, умножение в столбик двух n-разрядных чисел требует O(n²) битовых операций. Только в 1962-63 гг. были обнаружены более быстрые алгоритмы со сложностью O(n^1+ε) для любого ε>0. Оказывается, что и умножения матриц 'строка на столбец' - это не самый быстрый способ (он требует O(n³) арифметических операций для матриц порядка n). Уже более 10 лет известна оценка O(n^2.38), но дальнейшее ее улучшение еще впереди. К сожалению, для большинства задач на практике не существует пока алгоритмов с полиномиальной верхней оценкой сложности, а экспоненциальная сложность - очень быстро растущая величина. С другой стороны, для них нет и нижней оценки сложности выше, чем линейная. Так что с ситуацией здесь еще предстоит разбираться. Похоже, что для разработки быстрых алгоритмов надо применять хорошо развитые разделы математики, такие, например, как алгебра. Об этом говорят и результаты, полученные на кафедре математической кибернетики, и широкий интерес в мире к новой модели вычислений - квантовым компьютерам. Вопросы, связанные с анализом сложности (времени, памяти) известных алгоритмов, с разработкой конкретных новых быстрых алгоритмов, с разработкой конкретных новых быстрых алгоритмов, с разработкой общих методов для построения быстрых алгоритмов, а также с различными моделями вычислений, и являются главной тематикой спец семинара «Сложность алгоритмов».

Спец семинар «Кибернетические модели»

Руководители:
профессор В.Б. Кудрявцев, доцент В.Н. Козлов

В целом на семинаре рассматриваются работы по математическому моделированию в биологии и по распознаванию образов. Одно из главных направлений семинара - работы по математическому моделированию зрительного восприятия и по распознаванию изображений. Также рассматриваются работы по нейрокомпьютерам в тех их аспектах, которые близки к теории автоматов.

Спец семинар «Мягкие вычисления»

Руководители:
ст.н.с А.П. Рыжов, доцент В.Н. Козлов

Тематика семинара связана с вопросами, группирующимися вокруг аппарата теории нечетких множеств и их приложений. Рассматриваемые приложения относятся, в первую очередь, к взаимодействию человека и ЭВМ при решении задач в рамках человеко-машинных систем.

Спец семинар «Многозначные функциональные системы»

Руководители:
Г.П. Гаврилов, Д.Г. Мещаников, И.Г. Перфильева

Многозначные функциональные системы естественно связаны с синтезом и оптимизацией устройств дискретной техники на базе многоустойчивых элементов и с исследованием вопросов непротиворечивости, полноты и независимости разнообразных неклассических логических исчислений (в частности, модальных, временных и нечетких логик).

В теории таких систем рассматриваются задачи нахождения различных совокупностей функций, обладающих специальными свойствами, и получение оценок сложности соответствующих процедур и объектов: для этого привлекаются весьма глубокие методы теории чисел, алгебры, комбинаторного анализа и теории вероятностей, позволяющие изучать дискретные структуры.

На заседаниях спец семинара заслушиваются доклады, содержащие важные результаты, касающиеся многозначных функциональных систем, а также относящиеся к смежным областям дискретной математики, логики и алгебры.

Спец семинар «Обучающие программы»

Руководитель: к.ф.-м.н. И.В. Горская

Семинар "Обучающие программы" посвящен теории и практике обучения с использованием компьютеров. Главная задача участников семинара - совместная разработка обучающей программы в области математической логики. Эта программа предназначена для обучения старшеклассников и студентов свободному владению языком логики предикатов первого порядка. Процесс обучения опирается, с одной стороны, на сопоставление смысла формул и фраз естественного языка, а с другой стороны - на сопоставление формул и описываемых ими графических образов. В основе реализации лежит ряд оригинальных алгоритмов. Кроме того, на семинаре обсуждаются достоинства и недостатки конкретных обучающих программ в разных областях знаний - в диапазоне от студенческих до коммерческих разработок, изучается история, классификация и методология проектирования обучающих программ.

Спец семинар «Некоторые вопросы синтеза управляющих систем»

Руководители: С.А. Ложкин, Д.С. Романов

Одной из основных задач математической кибернетики является задача структурного синтеза, т.е. задача схемной или структурной реализации дискретных функций и алгоритмов. Примерами задач такого типа являются:

1. построение схемы из элементов &,v,-, которая реализует (вычисляет) заданную функцию алгебры логики (ФАЛ) или систему ФАЛ (дешифратор, мультиплексор, сумматор, умножитель и т.п.);
2. вложение графа полученной схемы в плоскую прямоугольную решетку, т.е. построение соответствующей "клеточной" схемы, которая является простейшей топологической моделью СБИС (сверх больших интегральных схем);
3. получение оценок сложности той или иной ФАЛ, которая равна минимальной "сложности" схем (числу элементов схемы, времени ее работы, площади решетки и т.п.), реализующих эту ФАЛ;
4. изучение поведения при n=1,2,..., так называемой функции Шеннона, которая равна сложности "самой сложной" ФАЛ от n переменных и, обычно, характеризует также сложность "типичной" ФАЛ.

Математическая постановка задачи синтеза и первые результаты в этом направлении (главный из них - выяснение порядка роста функции Шеннона для числа элементов в одном классе схем) были получены К. Шенноном в 1949г. С конца 50-ых годов, когда О.Б. Лупанов установил асимптотику некоторых функций Шеннона, и до настоящего времени отечественная школа математической кибернетики (С.В. Яблонский, О.Б. Лупанов, Ю.И. Журавлев и др.) занимает ведущие позиции в области теории синтеза управляющих систем. На спец семинаре рассматриваются как "классические", так и совсем новые работы в области теории синтеза управляющих систем, а также связанные с ними результаты из других областей дискретной математики (теории графов, комбинаторики, теории кодирования и т.п.). Кроме того, изучаются прикладные аспекты некоторых синтезных результатов, касающиеся их программной реализации.