Кафедра вычислительных методов была создана для подготовки специалистов по всем составляющим математического моделирования и вычислительного эксперимента. Целью математического моделирования и вычислительного эксперимента является воспроизведение с помощью соответствующих математических программных и компьютерных средств физических, химических, биологических, экономических, социальных и прочих явлений, исследование которых методом прямого эксперимента либо невозможно, либо чрезмерно дорого или долго. Например, исследование законов и процессов развития галактик во вселенной (один из предметов исследования астрофизики) воспроизвести в эксперименте невозможно, исследование процессов ядерных и термоядерных реакций путем натурного эксперимента крайне дорого и потенциально опасно для исследователей, а прямые эксперименты в медицине и экономике опасны для объектов эксперимента. Таких примеров можно привести множество в любых отраслях человеческой деятельности. Необходимость же эффективного проектирования той или иной конструкции, предсказания свойств того или иного явления в современном мире растет.

В соответствии с классическим определением, вычислительный эксперимент состоит из триады модель - алгоритм - программа, и именно для подготовки специалистов, способных реализовать эту схему в законченном виде, и предназначена кафедра вычислительных методов. Такой специалист, по выражению акад. А.А. Самарского, должен обладать свойствами «многоборца».

Модель. Под созданием математической модели явления понимается описание этого явления на языке математики, как правило, с помощью интегральных или дифференциальных уравнений или систем уравнений. Они составляются на основе тех законов и зависимостей, которые в данной предметной области установлены и получены. Это, разумеется, требует от прикладного математика изучения и знания основ соответствующего раздела знаний (аэродинамики, физики, химии, биологии, экономики и т.д.).

Алгоритм. Полученную математическую задачу необходимо решить. Как правило, современные модели представляют собой сложнейшие нелинейные системы самых разных по своей природе уравнений, и их аналитическое решение возможно лишь в исключительно редких случаях. В связи с этим необходимо применение тех или иных численных методов. Для правильного выбора эффективного численного метода (или, для начала, хотя бы класса численного метода) необходимо исследование сформулированной задачи с помощью всех средств современной математики. Различных численных методов для решения самых разных типов задач человечество придумало множество, но, как правило, необходима модификация соответствующих методик к каждой конкретной задаче. В случае, если подходящего численного метода еще не создано, прикладному математику нужно его просто разработать. Этому посвящена теория численных методов.

Программа. После того, как модель и алгоритм построены, их необходимо реализовать на ЭВМ. В современных условиях это значит разработать и осуществить систему ввода данных модели (а они могут состоять из тысяч значений и данная процедура часто требует написания специализированных баз данных и графических интерфейсов), далее создать по возможности оптимальный код для расчетной части алгоритма, и, наконец, обеспечить обработку результатов вычисления (что может потребовать визуализации в диапазоне от построения простейших графиков до сложнейших трехмерных анимаций).

Вся указанная деятельность осложняется тем, что современная вычислительная техника имеет ограниченные ресурсы, и это обстоятельство накладывает требования эффективности на все компоненты, участвующие в вычислительном эксперименте.

На кафедре вычислительной математики ведутся научные исследования по ряду фундаментальных проблем вычислительной и прикладной математики - разрабатываются численные методы решения задач линейной алгебры, разностные методы решения задач математической физики, проводятся исследования по теории разностных схем, создается соответствующее программное обеспечение - пакеты прикладных программ. Другое направление научных исследований связано с математическим моделированием сложных прикладных проблем в механике сплошных сред, физике плазмы, астрофизике, теории упругости, химической технологии, биофизике, экологии, медицины, финансовой математики и др.

На кафедре работают лауреат государственной премии чл.-корр. РАН Ю.П. Попов, профессора: В.Б. Андреев, A.В. Гулин, Б.Н. Четвеpушкин, A.П. Фаворский, В.Ф. Тишкин, В.Я. Карпов, П.Н. Вaбищевич, А.П. Михайлов, доценты С.Б. Богомолов, С.А. Волошин, Н.И. Ионкин, Н.Б. Есикова, Н.В. Соснин, С.И. Мухин, М.М. Хапаев, М.В Абакумов. В работе кафедры принимают участие доктора физико-мaтемaтических наук Г.Г. Еленин, Н.В. Apделян, В.А. Трофимов. Пpи кафедре работают лаборатории математического моделирования в физике (заведующий В.А. Трофимов) и разностных методов (заведующий Е.С. Николаев).

Научно-практической базой кафедры вычислительных методов являются Институт математического моделирования РАН и Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН. В случае необходимости, студенты кафедры могут использовать для работы рабочую станцию HP9000, предоставленную фирмой HP для сетевых работ и работ по визуализации и анимации вычислительного эксперимента.

Весьма условно интересы ведущих ученых кафедры можно определить следующим образом.

Чл.-корр. РАН Ю.П. Попов (зам. директора ИПМ им. М.В. Келдыша РАН)
разностные методы механики сплошной среды;
математическое моделирование:
   в газовой динамике;
   магнитной гидродинамике;
   астрофизике;
   процессах переноса;
   экологии;

Профессор А.В. Гулин (зам. заведующего кафедрой)
численные методы математической физики;
теория разностных схем;
методы решения спектральных задач;

Профессор В.Б. Андреев
теория разностных схем;
метод конечных элементов;
равномерные численные методы для сингулярно возмущённых задач;

Профессор В.Ф. Тишкин (зам. директора ИММ РАН)
математическое моделирование современных задач механики сплошных сред (гидродинамика, упругость);
приложения к проблеме ЛТС (лазерный термоядерный синтез);
развитие численных методов решения задач математической физики в областях сложной формы;
построение квазимонотоных разностных схем повышенного порядка точности;

Профессор А.П. Фаворский
построение разностных схем на основе принципа наименьшего действия (принцип Гамильтона) и других вариационных принципов;
повышение эффективности разностных схем посредством переноса свойств исходной задачи (вариационность, консервативность, принцип максимума и другие) на дискретные аналоги;
математическое моделирование:
   задач механики сплошной среды
   гемодинамики;

Профессор Б.Н. Четверушкин (директор ИММ РАН)
математическое моделирование течений жидкости и газа с учетом кинетических представлений об этих процессах;
кинетически согласованные разностные схемы решения задач газовой динамики и динамики разреженного газа;
использование многопроцессорных ЭВМ для решения сложных задач математической физики, вопросы параллелизации вычислительных экспериментов;

В 1998/99 гг. на 3-4 курсах кафедры работали следующие студенческие спец семинары:
Спец семинары 3 курс, 19998\99 г.

1. Фаворский А.П., Гулин А.В., Соснин Н.В., Мухин С.И.
   Численное методы решения дифференциальных уравнений.
2. Михайлов А.П.
   Математические модели в социологии и политологии.
3. Четверушкин Б.Н.
   Кинетические алгоритмы численного исследования систем уравнений сохранения.
4. Смирнов С.Н., Мухин С.И.
   Математические модели торгово-финансовых компаний.
5. Еленин Г.Г., Лысак Г.М., Трощиев Ю.В.
   Математические модели и нелинейный анализ открытых неидеальных систем.
6. Тишкин В.Ф., Вабищевич П.Н.
   Математическое моделирование окружающей среды.

Спец семинары 4 курс, 1998\99 гг.

1. Четверушкин Б.Н., Богомолов С.В.
   Кинетические основы вычислительной газовой динамики.
2. Трофимов В.А., Савенкова Н.П., Варенцова С.А.
   Математические модели элементов оптической памяти.
3. Андреев В.Б.
   Современные вычислительные алгоритмы.
4. Гулин А.В., Фаворский А.П., Попов Ю.П., Волошин С.А., Мухин С.И.
   Численные методы решения дифференциальных уравнений.
5. Куркина Е.С., Калачинская И.С., Песков Н.К.
   Математическое моделирование задач химической технологии.

Примеры тем курсовых работ по семинарам 4 курса

1. Четверушкин Б.Н.
   "Кинетические основы вычислительной газовой динамики"
   
   Метод частиц решения эволюционных уравнений
   Кинетически согласованные разностные схемы газовой динамики
   Метод частиц для квантового уравнения Лиувилля
   Метод частиц решения пространственно однородного уравнения Больцмана
   
2. Трофимов В.А., Савенкова Н.П., Варенцова С.А.
   "Математические модели элементов оптической памяти"
   
   Математическое моделирование двухцветных оптически бистабильных систем на основе полупроводников
   Математическое моделирование и реализации оптической бистабильности в условиях нелинейной зависимости подвижности от поля
   Численный метод для обобщенного уравнения Шредингера
   Математическое моделирование дифракционных волн высокой концентрации и температуры
   Математическое моделирование двух волнового воздействия на химически активную газовую среду
   
3. Гулин А.В., Фаворский А.П., Попов Ю.П., Волошин С.А., Мухин С.И.
   "Численные методы решения дифференциальных уравнений"
   
   Численное моделирование аккреционных дисков
   Уравнения гемодинамики и их свойства
   Гидрологические модели снеготаяния и методы их решения
   Численное разностных схем для расчета разрывных решений
   Тепловые модели снеготаяния и их решение
   Исследование разностных схем для уравнения переноса
   Построение разностных схем для уравнений гемодинамики
   Кинетически согласованные разностные схемы гемодинамики
   Численное решение спектральных задач
   
4. Куркина Е.С., Калачинская И.С., Песков Н.К.
   "Математическое моделирование задач химической технологии"
   
   Качественный анализ моделей биологических сообществ
   Исследование стационарных решений в модели одной химической реакции
   Исследование зависимости свойств колебаний от параметров в одной модели химической реакции
   Бифуркационный анализ модели типа "брюсселлятор"
   

Некоторые темы дипломных работ, защищенных в 1998 г.

Численный алгоритм решения распределений по доходности модели динамики активов.
Численное моделирование учета процесса инфляции на основе диффузионной модели.
Построение разностных схем для уравнения переноса.
Границы устойчивости двумерных разностных схем.
Асимптотическая устойчивость разностных схем.
Метод адаптивных сеток для систем ОДУ.
Оценка эффективности гибридных итерационных методов вариационного типа.
Моделирование кровообращения на основе обобщенной модели Гайтона.
Диагностическая модель построения ветрового поля в условиях недостаточного количества метеоизмерений.
Численное исследование вариационно-разностных схем для сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.
Разностные схемы на расширенном шаблоне для стационарного уравнения конвекции-диффузии.
Исследование регулярных и хаотических колебаний в неизотермической модели реакции окисления СО на Pd цеолитном катализаторе.
Изучение динамического проведения глобально связанных каталитических осцилляторов через параметр.

Некоторые темы дипломных работ 1999 г.

Построение численного решения нелинейного уравнения переноса.
Стохастическое математическое моделирование движения лейкоцитов.
Стационарные решения уравнений гемодинамики для одного сосуда.
Исследование устойчивости стационарных решений уравнений гемодинамики для одного сосуда с подвижными стенками.
Разработка базы данных для математического моделирования кровеносной системы.
Разработка и исследование численных методов для решения уравнения Навье-Стокса в естественных переменных.
Построение решения уравнения переноса с помощью характеристик.
Исследование разностной схемы повышенного порядка аппроксимации на неравномерной нерегулярной сетке для уравнения Пуассона.
Численное исследование точности разностной схемы на экспоненциально сгущающейся сетке для решения с логарифмическим пограничным слоем.
Исследование некоторых противопоточных схем МКЭ для уравнения конвекции-диффузии.
Двумерные волны переключения, формируемые сфокусированными лазерными пучками.
Модуляционная неустойчивость сверхкоротких световых импульсов.